1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+4+......2003)

因为1=1*2/2
1+2=2*3/2
......
1+2+3+4+......2003=2003*2004/2
所以
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+4+......2003)
=2(1/1 - 1/2)+2(1/2 -1/3) +2(1/3-1/4)+......+2(1/2003-1/2004)
=2-2/2004
=2-1/1002
=2003/1002

慢慢算……

因为：
1+2=2*3/2
1+2+3=3*4/2
1+2+3+4=4*5/2
1+2+3+……+2006=2006*2007/2
所以，
1+1/(1+2)+1/(1+2+3)+1/(1+2+3+4)+...+1/(1+2+3+...+2006)
=1+2/（2*3）+2/（3*4）+2/（4*5）+……+2/（2006*2007）
=2[（1/2+1/（2*3）+1/（3*4）+1/（4*5）+……+1/（2006*2007）〕
因为：
1/（2*3）=1/2-1/3；
1/（3*4）=1/3-1/4；
1/（4*5）=1/4-1/5；
……
1/（2006*2007）=1/2006-1/2007
所以，
原式=2（1/2+1/2-1/3+1/3-1/4+1/4-1/5+……+1/2006-1/2007）
=2（1-1/2007）
=2*2006/2007
=4012/2007

楼上的是答对了,可是题目看错了....

分母是个等差数列的和
sn=na1+n(n-1)d/2=n+n(n-1)/2=n(n+1)/2

1/sn=2/[n(n+1)]=2[1/n-1/（n+1）]

所以原式=2[(1-1/2)+（1/2-1/3）+（1/3-1/4）+……（1/2003-1/2004）]
=2（1-