一道初三～高一的几何题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 21:28:45
在锐角△ABC中,BD、CE分别是边AC、AB上的高，以AB为直径作圆交CE于M，在BD上取点N，使AN=AM，证明：AN⊥CN
说详细点啊!!!我看得懂加分在线等

你竞赛的吧！
哈哈！
AB=c
BC=a
AC=b
AE=b*cosA
BE=a*cosB
AMB=90度
EM^2=AE*BE=ab*cosA*cosB
AM^2=AE^2+EM^2=bb*cosAcosA+ab*cosA*cosB
AN^2=AM^2=bb*cosAcosA+ab*cosA*cosB
AD=c*cosA
DC=a*cosC
ND^2=AN^2-AD^2=bb*cosAcosA+ab*cosA*cosB-cc*cosAcosA
=cosAcosA(bb-cc)+ab*cosA*cosB
AD*DC=ac*cosAcosC

下证： AD*DC=ND^2
cosAcosA(bb-cc)+ab*cosA*cosB=ac*cosAcosC
cosA(bb-cc)+ab*cosB=ac*cosC
bbcosA+abcosB=accosC+cccosA
b(bcosA+acosB)=c(acosC+ccosA)
bcosA+acosB=AE+EB=AB=c
acosC+ccosA=CD+AD=AC=b
所以得证！
所以直角三角形ADN相似直角三角形NDC
所以角ANC＝90度！

角ADB等于90°，所以D在以AB为直径的圆上

证明:做辅助线,连接BM.
因为AB是圆的直径,所以AM⊥BM
又因为AN=AM
用(AAS)可证明△ABM和△ACN全等
所以AN⊥CN