设x,y,z为正实数，且x+y+z=1.求证:

设x,y,z为正实数，且x+y+z=1.求证:
1+27xyz(x^2+y^2+z^2)-4(yz+zx+xy)≥0 (*)

证明 将(*)式齐次化处理得:
(x+y+z)^5+27xyz(x^2+y^2+z^2)≥4(yz+zx+xy)*(x+y+z)^3 (1)
(1)展开化简为
∑x^5+∑x^4*(y+z)-2∑x^3*(y^2+z^2)+19xyz∑x^2-18xyz∑yz≥0 (2)
因为(2)式是全对称式,不失一般性,设x=min(x,y,z),(2)式分解为:
x(x^2+2xy+2xz+22yz)*(x-y)*(x-z)+[(y+z)^3+x(y^2+21yz+z^2)-2x^2*(y+z)]*(y-z)^2≥0
上式显然成立.证毕。