设m n 为整数，证明x平方+10mx+5n+3=0 x平方+10mx+5n-3=0均无整数根

把原方程变换一下：
n = - ( x*x + 10mx +3 ) / 5
设存在整数根，即x为整数时可以使上式成立。
由于n是整数，必须要求 x*x + 10mx +3 的个位数是0或者5（即被5除尽），而m与x均为整数，10mx的个位数必定是0，则要求x*x的个位数是2或者7。但是x*x是完全平方数，完全平方数的个位数只可能是0,1,4,5,6,9. 不可能是2或者7，所以这时x不可能为整数。这与当前假设x为整数是矛盾的。所以不可能存在整数根。
第二个方程的证明方法和第一个方程一样。

设其整数根为x1,x2
则根据韦达定理
x1+x2=-10m
x1x2=-5n+3

我们看第二式，
x1x2的只能是XXX……3或XXXX……8（这里表示末尾为3或8），所以x1,x2的末尾为1个1 1个8，或1个2一个4，或1个1 1个3，而其和的末尾不会为0，而-10m末尾为0
矛盾
故求证方程x^2+10mx-5n+3=0没有整数根(m,n都是整数)