在ΔABC中，∠A=60°。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/30 08:16:34
在ΔABC中，∠A=60°。
(1) 已知AC^2=AB*(AB+BC) ，求∠B，∠C;
(2) 已知BC^2=AB*(AB+AC) ，求∠B，∠C。

证明 (1) 延长AB至D,使BD=BC。则∠BCD=∠D。
因为AC^2=AB*(AB+BC) ，所以 AC^2=AB*AD<==> AC/AB=AD/AC.
又∠A是公共角, 故ΔABC∽ΔACD, 即∠ACB=∠D.
又因为∠ABC=2∠D，∠ABC+∠ACB=3∠D=180°-60°=120°，
所以∠D=40°，从而得:∠B=80°，∠C=40°。

(2) 用三角法证明 设BC=a,CA=b,AB=c，则a^2=c^2+bc,
(sinA)^2-(sinC)^2=sinB*sinC
<==> sin(A+C)*sin(A-C)=sinB*sinC
即sinB*sin(A-C)=sinB*sinC
因为sinB≠0，∠A=60°，所以sin(A-C)=sinC
故A-C=C或A-C=180°-C不舍题意舍去。
因此A=2C，C=30°,B=90°.

(1)延长AB至D，使BD=BC
=>
角BCD=角D=X
AC^2=AB*(AB+BC)
=>
AC/AB=AD/AC
ABC相似于ACD
=>
角ACB=角D=X
=>
3X+60=180
X=40
∠B=80，∠C=40

(2)
类似的，延长BA至E，使AE=AC
角E=角ACE=1/2角A=30
BC^2=AB*(AB+AC)
=>
BC/AB=BE/BC
=>ABC全等于CBE
∠C=∠E=30
∠B=90