在三角形ABC中,若(1/a+b)+(1/b+c)=3/a+b+c,则B=?
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/05/30 09:44:39
等价于这个问题
△ABC的三个内角A,B,C成等差数列
求证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)
证明:由题知:C-B=B-A,即:A+C=2B,则A+B+C=3B=180°,得B=60°。
若△ABC的三个内角A,B,C所对应的三边分别为:a、b、c,由余弦定理,得
b^2=c^2+a^2-2ca*cosB
=c^2+a^2-2ca*cos60°
=c^2+a^2-2ca*1/2
=c^2+a^2-ca
欲证等式左边:
1/(a+b)+1/(b+c)
=(a+2b+c)/(a+b)(b+c)
=(a+2b+c)/(ab+ac+b^2+bc)=3/(a+b+c)..................①
于是原题等价于证明①式成立,交叉相乘得:
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)(a+2b+c)=(a+b+c)[(a+b+c)+b]
3(ab+ac+b^2+bc)=(a+b+c)^2+b(a+b+c)
3ab+3ac+3b^2+3bc=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca+ba+b^2+bc
整理,得
b^2=c^2+a^2-ca,............................②
于是要证:1/(a+b)+1/(b+c)=3/(a+b+c)成立,就等价证明②式成立。而②式已经由余弦定理证得。
所以A+B+C=180
3B=180
B=60
(a+b+c)/(a+b)+(a+b+c)/(b+c)=3
两边减去2得c/(a+b)+a/(b+c)=1
通分,c(b+c)+a(b+a)=(a+b)(b+c)
由此可得ac=a^2+c^2-b^2
而右边=2accosB。所以cosB=1/2。B=60°