如何证明：1平方+2平方+3平方+……+n平方=n(n+1)(2n+1)/6

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/17 08:26:31
如何证明：1平方+2平方+3平方+……+n平方=n(n+1)(2n+1)/6
请给出详细证明！
（另外，请不要用 数学归纳法和待定系数法来求证）
因为我想知道人们最初是怎么把这个求和公式的结果推导出来的。

1^2+2^2+3^2+……+n^2
=(1^2+1)+(2^2+2)+(3^2+3)+……+(n^2+n)-n(n+1)/2
=2[(2*1)/2+(3*2)/2+(4*3)/2+……+n*(n+1)/2]-n(n+1)/2
=2(C22+C32+C42+……+C(n+1)2)-n(n+1)/2,(C22表式C2选2,C32表式C3选2……)
=2(C33+C32+C42+……+C(n+1)2))-n(n+1)/2
=2C(n+2)3)-n(n+1)/2,(C33+C32=C43,C43+C42=C53……)
=(n+1)n(n-1)/3-n(n+1)/2
=[2(n+2)(n+1)n-3n(n+1)]/6
=n(n+1)(2n+1)/6
此方法用到高三组合数公式

利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]
=n^2+(n-1)^2+n^2-n
=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
......
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1