一道关于高中数列的题

这个好像是没什么办法的
考察有限级数\sum_{i=1}^n ln(An)
如果这个级数能求出来，那么相应的积分
\int_0^n ln(1+0.5^x)dx
多半也能求出来，大多数时候可以有对应的方法
但事实上那个不定积分不能写成初等函数。

多了些奇数，不好算

就是vym1的另一个ID

我看错了, 当成(1+1/2^2ⁿ)了. 如题的话, 应该没有初等和式.

用Mathematica6计算了一下n→∞的极限, 也没得到符号式, 数值计算结果为
2.38423102903137172414989928867651641212380180413248427089631068137416...

不好算

不好算，只能算出n趋向于无穷Sn值

设Bn=An-1=0.5^n
Bn为等比数列
前n项和Tn=n*(0.5+0.5^n)/2=n/4+n*0.5^(n+1)
=Sn-n
Sn=5n/4+n*0.5^(n+1)

a(n+1)=0.5an+1
=0.5[0.5a(n-1)+1]+1
=0.5^2*a(n-1)+1+0.5
.....
=0.5^n*a1+1+0.5+0.25+...+0.5^(n-1)
=a1/2^n+(1-1/2^n)/(1-1/2)

an=-1/2^n+2[1-1/2^(n-1)]