等差数列的一个问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 02:17:48
我看到书上说一个数列的前N项和为Sn=pn^2+qn+r,问它是否是等差数列,书上说可以用an=Sn-S(n-1)来求,我的问题是,根据Sn用a1和公差d来表示,不可能得到c这个常数项啊,而且用上面那个公式求,出通项公式,再得a1=p+q,但是直接代入最前面那条Sn=pn^2+qn+r得a1=p+q+r,这是怎么回事?那个r已经困扰我很久了
没看大明白啊，那个C我觉得不应该有啊
还是不对，我后面做到一个题目，有一个数列前N项和为S=1/4n^2+2/3n+3,求它的通项公式，结果不对啊

当r＝0时，Sn＝pn^2＋qn＋r（n为正整数）就表示等差数列；
当r≠0时，Sn＝pn^2＋qn＋r（n为正整数）就不是等差数列，〔原因是第一项的干扰〕但从第二项开始就是等差数列。
问题补充：没看大明白啊，那个C我觉得不应该有啊
回答：在这里你需明白，这是研究二次函数各系数与等差数列前n项和Sn的关系。所以在不知道关系的情况下，二次函数要以一般形式体现出来，即二次项系数，一次项系数，常数项都应该有。
经过了一番计算后，我们知道了只有当二次函数的常数项c=0时，它才能表示等差数列前n项和Sn。
如果不是研究二次函数与等差数列前n项和Sn的关系，而是研究等差数列前n项和Sn怎么用二次函数体现出来的话，那个C就不应该有，也不会有。
希望我这番答复能帮助你解决困扰你很久了的这个问题。。。

上面那个公式求出通项公式，
an=2pn+（q-p），
注意你用an=Sn-S(n-1)时要求n>=2,
所以an=2pn+（q-p）中不能带入n=2，而只能用S1来算，
一般Sn-S(n-1)求an后都要在验算a1符合通项才能写一起。

首先由Sn-S（n-1）可以求出an=2pn-p+q，但要注意这里的n是≥2的，不然S（n-1）是无意义的（你用这个公式求a1是错误的），所以an从第二项开始是公差为2p的等差数列，用通项公式求出a2=3p+q，再通过S1求出a1=p+q+r，所以只有当常数r=0时，a2-a1=2p，整个数列an为等差。