高二数学大题 圆锥曲线

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/07 22:27:46
椭圆(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)=1（a>b>0）上一点M满足∠F1MF2=a,其中F1 F2为两焦点，证明△F1MF2的面积为b^2tan(a/2)

要较详细完整过程及文字说明 和结果 30分 好的可以追加5分

∠F1MF2=θ

由椭圆的定义
|F1M|+|F2M|=2a
|F1F2|=2c

由余弦定理
|F1M|^2+|F2M|^2-2|F1M|*|F2M|*cosθ=|F1F2|^2
(|F1M|*|F2M|)^2-2|F1M|*|F2M|(cosθ+1)=|F1F2|^2
4a^2-2|F1M|*|F2M|(cosθ+1)=4c^2
|F1M|*|F2M|=2(a^2-c^2)/(cosθ+1)
|F1M|*|F2M|=2b^2/(cosθ+1)

S=1/2*|F1M|*|F2M|*sinθ
=1/2*[2b^2/(cosθ+1)]*sinθ
=b^2*sinθ/(cosθ+1)
[2倍角公式]
=b^2*(2sin(θ/2)cos(θ/2))/(2(cosθ)^2-1+1)
=b^2*sin(θ/2)/cos(θ/2)
=b^2*tan(θ/2)

呵呵..
这题是用用余弦定理的.
我设F1F2=2c ,F1M=x.F2M=y
由余弦定理得.
4c方=x方+y方-2xycosa=(x+y)方-2xy(cosa+1)=4a方-2xy(cosa+1)
所以4b方等于=2xy(1+cosa)
因为面积S=0.5xysina
S=b方*sina/1+cosa再用二倍角转化公式就可以求出~sina/1+cosa=2sin0.5a*cos0.5a/2cos0.5a方=tana/2