高二数学之圆锥曲线问题

已知双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1(a,b均>0)的一焦点到其相应准线的距离为1/2,

经过点A(0,-b)及B(a,0)的直线到原点的距离为√3/2
1求双曲线方程
2是否存在直线l:y=kx+5(k不=0),它与双曲线交于CD两点,使得CD两点都在以A为圆心的同一个圆上.若存在,求出直线l的方程,若不存在,试说明理由

过程有点多，慢慢看o(∩_∩)o...

1问
由题意可得:c-(a^2/c)=1/2
即：b^2/c=1/2
∵直线经过点A(0,-b)及B(a,0)
∴直线的方程为：(x/a)-(y/b)=1
整理得：bx-ay-ab=0
∵直线到原点的距离为√3/2
∴|-ab|/c=√3/2
∴(a^2*b^2)/(c^2)=3/4

∵b^2/c=1/2
∴a^2/c=3/2
∴右准线方程为：x=3/2

∵焦点到其相应准线的距离为1/2
∴右焦点的坐标为（2，0）
即：c=2
∴a^2=3;b^2=1
故：双曲线方程为：x^2/3-y^2=1

2问
存在，l的方程为：y=±√7x+5
过程：
假设存在符合题意的直线l，并设过点A作垂直CD的直线l2
垂足M坐标为:(xo,yo)
∵b^2=1
∴b=1
∴点A坐标为(0,-1)

设C,D的坐标为(x1,y1),(x2,y2)
∵CD两点都在以A为圆心的同一个圆上
∴l2垂直平分CD
即：C,D关于l2对称
∴l2的斜率为：-1/k
则l2的方程可设为：y=-x/k-1

∵C,D在双曲线上
∴x1^2/3-y1^2=1;x2^2/3-y2^2=1
两式相减可得：
(x1-x2)(x1+x2)=3*(y1-y2)(y1+y2)

∵k不=0
∴y1不=y2
(y1-y2)/(x1-x2)=3*(y1+y2)/(x1+x2)
∵C,D在l上
∴(y1-y2)/(x1-x2)=k=(x1+x2)/[3*(y1+y2)]

∵l2垂直平分CD
∴(y1+y2)/(x1+x2)=xo/yo
∴k=xo/(3yo)
∴yo=xo/(3k)

∵M在l2上
∴yo=-xo/k-1