高一数学(过程)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/22 06:14:47
设函数f(x)的定义域为R,若有f(π/2)=0,f(π)=-1且对任意x1,x2都有:f(x1)+f(x2)=2f[(x1+x2)/2]f[(x1-x2)/2]成立. (1)求f(0) (2)求证f(x)是偶函数,且f(π-x)=-f(x) (3)若-π/2<x<π/2,f(x)>0,求证:函数f(x)在[0,π]上单调递减。

1.令x1=π,x2=0,又因为f(x1)+f(x2)=2f[(x1+x2)/2]f[(x1-x2)/2],所以
f(π)+f(0)=2f(π/2)f(π/2),即-1+f(0)=0,所以f(0)=1.
2.令x1=x,x2=-x,则f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),又由(1)可知道f(0)=1,所以
f(-x)=f(x),即f(x)是偶函数.
令x1=π-x,x2=x,则f(π-x)+f(x)=2f(π/2)f[(π-2x)/2],又因为f(π/2)=0,所以
f(π-x)+f(x)=0,即f(π-x)=-f(x).