高等数学第三章微分中值定理.证明不等式

当x＞1时，设f(t)＝e^t，t∈[1,x].
f(t)在[1,x]上连续，在(1,x)内可导，由拉格郎日中值定理，存在ξ∈(1,x)，使得f'(ξ)＝(f(x)-f(1))/(x-1).
f'(x)＝e^x，所以，e^ξ＝(e^x－e)/(x－1).
因为1＜ξ＜x，所以，e^ξ＞e，所以，(e^x－e)/(x－1)＞e，得e^x＞ex.

方法二：设f(t)＝e^t－et，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理
(e^x－ex)/(x－1)＝e^ξ－e＞0，得到结论

方法三：取对数，设f(t)＝lnt，t∈[1,x]，拉格郎日中值定理
lnx/(x－1)＝1/ξ＜1，得lnx＜x-1，化为指数运算即得结论

用函数单调增加的原理 令e^x- e•x=0
然后求导 如果这个函数求导后x=1，2，3，4.。。无穷都是增函数（就是大于0）就证明不等式成立

导数是正的说明函数单增这应该知道吧？
只要e^x > e•x在x>1之后是单增的 就说明e^x > e•x

不信你自己把图画出来看看
微积分只要把函数图像画出来就能理解了
式子太抽象 对学生来说不容易理解的 一定要画图！

在[1,x]上对f(x)=e^x应用拉格朗日微分中值定理,有
[f(x)-f(1)]/(x-1)=f'(ξ) 1<ξ<x
即(e^x-e)/(x-1)=e^ξ>e,两边同时乘以x-1,得e^x-e>ex-e,即e^x>ex
微分中值定理的证明题是最千变万化的,很难总结出一个具体的套路.还是要根据题目的特点分析解决.

他们把答案都说了我就不再赘述了，像中值定理的应用证明不等式时关键是构造一个原函数，这就要你熟悉很多函数微分后的形式，这样你看到式子你就能大概猜到应该构造一个怎样的原函数。。所以还是要多做几个题，熟能生巧嘛！！