映射的数学问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/30 22:32:21
设映射f：X→Y,若存在一个映射g：Y→X，使g°f=Ix，f°g=Iy，其中Ix、Iy分别是X、Y上的恒等映射，即对于每一个x∈X，有Ixx=x；对于每一个y∈Y，有Iyy=y.证明：f是双映射，且g是f的逆映射：g=f-1；（注此题目中的Ix、Iy中的小x、y都应该是大X或Y下沉而得到，应打不出小的X、Y，所以用x、y替代）

算了！为了你那十分，我还是把过程写写。
1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为恒等映射，现证明，f为单射，g为满射！

设x1,x2∈X，使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°f（x1）=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为单射！

对任意x，令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
即：对任意的x,存在y 使g(y)=x
g为满射！

2.
若g°f=idx,f°g=idy ,则f,g为一一映射，且f=g(-1),g=f(-1)

证明：由1知道，f,g均为一一映射！
现只需证明对任意的x∈X，y∈Y有
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)

∵f(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任何y∈Y成立。
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任何x∈X都成立。
∴f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)成立！

你去参考武汉大学邹应老师编的数学分析，或者高等教育出版社张禾瑞老师编的高等代数。
其实很多地方都有！

好难啊