已知三角形ABC的三边a.b.c.的倒数成等差数列，求证B<90度

已知三角形ABC的三边a.b.c.的倒数成等差数列
如果1/a>或=1/b>或=1/c
a<b<c
因为大边对的角也大。所以角c是最大的角，角a是最小的角。
同理
1/a<或=1/b<或=1/c、、、
角a是最大的角，角c是最小的角。
三角形内角和=180°所以只能有一个角>或=90°

所以；B<90度

反设B>=90°，则A C都比B小
在三角形中，大角对大边，所以必然有b>a,c
也就是1/b<1/a,1/c
这样一来，1/a，1/b，1/c就不可能成等差数列了，矛盾！
于是命题得证

求证B角<90度，由余弦定理可知就是要求证a^2+c^2>b^2即可
又2/b=1/a+1/c所以b=2ac/(a+c)
a^2+c^2-b^2
=a^2+c^2-[2ac/(a+c)]^2
=[(a^2+c^2)(a+c)^2-4a^2*c^2]/(a+c)^2

又(a^2+c^2)(a+c)^2-4a^2*c^2
=(a^2+c^2)(a^2+c^2+2bc）-4a^2*c^2
=(a^2+c^2)^2+2ac(a^2+c^2)-4a^2*c^2
=(a^2+c^2)^2-4a^2*c^2+2ac(a^2+c^2)
=(a^2-c^2)^2+2ac(a^2+c^2)>0
所以a^2+c^2-b^2>0
即a^2+c^2>b^2
从而角B<90度

多了不想写，求证B角<90度，就是要求证a^2+c^2>b^2即可
题意可知2/b=1/a+1/c------1式
这里还有a+c>b ,三角形的2边和大于第三边。
2边平方有a^2+c^2>b^2-2ac-------2式
由一式可得b=2ac/(a+c)--------3式
3带入2得a^2+c^2>4(ac)^2-2ac化简得(a+c)^2&