1.△ABC是等边三角形，点D,E,F分别是线段AB,BC,CA上的点...

BD=AB-AD
AB=AC,AD=CF
所以BD=AC=CF=AF
三角形ADE和BED中
AD=BE，AF=BD
角A=B=60
所以全等
所以DF=DE
同理，DF=EF
所以DE=DF=EF
是等边三角形

若△DEF是等边三角形
角FDE=60
所以角ADF+BDE=180-60=120
三角形BDE中，B=60
所以角BED+BDE=120
所以角BED=ADF
角A=B=60
DF=DE
所以三角形ADE和BED全等
所以AD=BE
同理BE=CF
所以AD=BE=CF

（1）
证明：
∵⊿ABC是等边三角形
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60º
∵AD=BE=CF
∴AB-AD=BC-BE=AC-CF
即BD=CE=AF
在⊿ADF和⊿BDE中
AD=BE，∠A=∠B，AF=BD
∴⊿ADF≌⊿BED（SAS）
∴DF=DE
同理：
⊿ADF≌⊿CFE
∴DF=EF
∴DF=EF=DE
∴⊿DEF是等边三角形
（2）
∵⊿DEF是等边三角形
∴DE=EF=DF，∠DEF=∠EFD=∠EDF=60º
在⊿BDE和⊿CEF中
∵∠DEB+∠CEF=180º-∠DEF=120º
∠DEB+∠BDE=180º-∠B=120º
∴∠BDE=∠CEF
又∵∠B=∠C，DE=EF
∴⊿BDE≌⊿CEF（AAS）
∴BE =CF
同理：
⊿ADF≌⊿BED
∴AD=BE
∴AD=BE=CF