高中数学一道题

我的答案是（0，1/27]

过程：

设abc=t 则 a+b=1-c
ab=t/c

由a,b,c∈（0，＋∞），得c∈（0，1）

将a、b看做方程x^2-(1-c)x+t/c=0的两根
此时c∈（0，1）和a+b=1-c ab=t/c 已经可以保证a,b∈（0，＋∞）的条件

因此，只需△=c^2-2c+1-4t/c >=0 成立

得4t<=c^3-2c^2+c

将右边设为函数求导可得最值4/27

因此abc∈（0，1/27]

因为a b c都是正数
而a+b+c=1，则a b c都处在0-1之间
也就是说都是 零点几 甚至 零点零几 零零几的数
假设a b c中有一个趋近于0 则abc趋近于0
假设a b c中均不趋近于0
易知，当a b c三者相等时所得乘积最大，则a=b=c=1/3
所以abc的最大值为1/27
所以，
a b c分别∈（0，1）
abc∈（0，1/27]

另解：
基本不等式
二元：(ab)^1/2≤(a+b)/2（当且仅当a=b时取“＝”）
三元：（abc）^1/3≤（a+b+c）／3（当且仅当a=b=c时取“＝”）

于是abc≤((a+b+c)/3)^3=1/27
（亦可取a=b=c=1/3计算）
即abc∈（0，1/27]

楼上abc最大是1/27 abc∈(0,1/27)

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均值不等式