矩阵证明问题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/16 04:59:34
设X是n维实列向量，且XTX=1，证明S=E-2XXT是对称矩阵，且S的平方=E，（E为单位矩阵）
(T是上角标，我不知道怎么打出来）

我用x'表示xT了。

设x = (a1,a2,...,an)'. 那么根据矩阵相乘的规则，在xx'中，第i行第j列的元素 = aiaj = ajai = 第j行第i列的元素，所以xx'是对称的。
又E显然是对称的，所以S是两个对称矩阵的差，也是对称的。

S² = (E - 2xx')(E - 2xx') = E - 2xx' - 2xx' + 4xx'xx' = E - 4xx' + 4x(x'x)x'，
根据条件，x'x = 1，所以S² = E - 4xx' + 4xx' = E.