一道高中数学联赛题

原题总得给出来吧！

楼主，不给原题。我们很难找得到的。

没有原题

没有原题怎么做

楼主，题目没有看清楚。
题目中有给a0=1,b0=0
根据递推式就可以求出a1了

[证法一]：由假设得a1=4, b1=4且当n 1时
（2an+1-1）+ =(14an+12bn-7)+ (8an+7bn-4)
=[(2an-1)+ ](7+4 )
依次类推可得
（2an-1）+ = (7+ (2a1 -1+ )=(7+4
同理（2an-1+ ）- =(7+4
从而 an= (7+4 + (7+4 + .
由于 7 4 =（2 ，
所以 an =[ (2+ + (2- )
由二项式展开得 c n = (2+ + (2- ) = ,
显然Cn为整数，于是an为完全平方数.
[证法二]：由已知得an+1=7an+6bn-3=7an+6(8an-1+7bn-1-4)-3
=7an+48an-1+42bn-1-27 ,
由 an=7an-1+6bn-1-3 ,得 42bn-1=7an-49an-1+21 ,
从而 an+1=7an+48an-1+7an-49an-1+21-27
=14an-an-1-6 .
也就是 an+1=14an-an-1-6 .
设(an+1-kan+t)=p(an-kan-1+t) ……①②③④
则有
解得 或
分别代入①，根据数列{ an+1-kan+t }是以a1-ka0+t为首项、p为公比的等比数列，整理得
…②
…③
③-②，整理得

由二项式展开得 c n = (2+ + (2- ) =
显然Cn为整数，于是an为完全平方数.