已知梯形ABCD中，AD‖BC，E是CD的中点，EF⊥AB与点F。求证：S梯形ABCD=EF·AB。

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/13 01:02:41
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作FG平行AD 交AB于G，则G为AB中点。分别过E,G作EH,GK垂直BC于H,K，过A作AM垂直EG于M,则EF=BK设梯形的高为h 连AE,BE 因为E为DC的中点 所以AM=（1/2)*h 在△AEG中，S=（1/2）*AM*EG=(1/2）*EF*AG =(1/2)*(1/2)*h*EG在梯形ABCD中，S=S梯形ADEG+S梯形BCEG =S△ADE+S△AEG+S△BGK +S矩形EGKH+S△CEH 梯形ABCD的面积=AB×EF =(1/2)*(1/2)*h*AD+(1/2)*(1/2)*h*EG +(1/2)*(1/2)*h*BK+(1/2)*h*EG+(1/2)*(1/2)*h*CH =(1/2)*(1/2)*h*EG+(1/2)*(1/2)*h*(AD+BK+EG+CH)+(1/2)*(1/2)*h*EG =(1/2)*h*EG+(1/2)*(1/2)*h*(AD+BC) =(1/2)*h*EG+(1/2)*h*EG =h*EG =2EF*AG =AB*EF

证明：过点E作MN‖AB
∴四边形BNMA是平行四边形
∵ANB‖BC
∴∠MDE=∠NCE
∵∠MED=∠NEC DE=EC
∴△DEM≌△CEN
∴S梯形ABCD=S平行四边形BNMA=AB乘EF