高二 数学 数列 请详细解答,谢谢! (10 10:36:5)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/09/25 05:35:30
已知数列｛an｝的前n 项和为Sn，且满足an+2SnSn -1=0(n≥2)
a1=1/2
1)求证：｛1/Sn｝是等差数列
2）求an表达式
3）若bn=2（1-n）an（n≥2），求证b22+b32............+bn2＜1

1.得Sn-Sn -1+2SnSn -1=0
同除SnSn -1即为1/Sn-1/Sn-1=2
所以：｛1/Sn｝是等差数列
2.1/Sn=2*（n-2）+2=2n
所以Sn=1/2n
an=Sn-Sn -1=1/（2n*（1-n））
3.bn=2（1-n）an=1/n
所以b22+b32............+bn2=1/2*1/2+1/3*1/3+……+1/n*1/n
〈1*1/2+1/2*1/3+……+1/n-1*1/n
=1-1/2+1/2-1/3+……+1/n-1-1/n
=1-1/n〈1

1.得Sn-Sn -1+2SnSn -1=0
同除SnSn -11/Sn-1/Sn-1=2｛1/Sn
2.1/Sn=2*（n-2）+2=2n
所以Sn=1/2n
an=Sn-Sn -1=1/（2n*（1-n））
3.bn=2（1-n）an=1/n
所以b22+b3+bn2=1/2*1/2+1/3*1/+1/n*1/n
〈1*1/2+1/2*1/+1/n-1*1/n
=1-1/2+1/2-1/+1/n-1-1/n
=1-1/n〈1

我看了，以上答案若是正规考试可能被扣分，因为此类数列问题，当n≥2时，必须得考虑而且必须写上n=1的情况，虽说n=1时也肯定成了。补充一下吧
1)
当n≥2时
因为 a1=1/2所以 Sn不等于0 an=Sn-Sn -1
两边 同除SnSn -1得到 1/Sn - 1/Sn-1 =2(n≥2)
所以：｛1/Sn｝是等差数列
2）
a1=Sn=1/2 且d=2
所以1/Sn=2*（n-1）+2=2n（n≥1）
所以Sn=1