UC知道高等数学证明题微分中值定理相关
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/24 16:06:08
第一题：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，证明至少存在一点x，满足2x[f(b)-f(a)]=（b平方-a平方）f'(x)
第二题：f(x),g(x)都在[a,b]连续，（a，b）可微，又对于（a，b）内的x有g'(x)不等于0，证明（a，b）内至少存在一点c，使得f'(c)/g'(c)=[f(c)-f(a)]/[g(b)-g(c)]
请给出详细的过程，谢谢，都给出的可以再加分！
第一题：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，证明(a,b)内至少存在一点x，满足2x[f(b)-f(a)]=（b平方-a平方）f'(x)
少加了个字，不过应该都知道的
再加个求极限的吧，嘿嘿，分数会加：
x->0时，[x-ln(1+tanx)]/x平方，答案是1/2，我用罗比达法则怎求都是0呢
天下无齐，极限的这个不对吧，cos^2x(1+tanx)=1？那分子第一次求导不是直接等于0了啊
第二题：f(x),g(x)都在[a,b]连续，（a，b）可微，又对于（a，b）内的x有g'(x)不等于0，证明（a，b）内至少存在一点c，使得f'(c)/g'(c)=[f(c)-f(a)]/[g(b)-g(c)]
请给出详细的过程，谢谢，都给出的可以再加分！
第一题：f(x)在[a,b]连续，(a,b)可导，证明(a,b)内至少存在一点x，满足2x[f(b)-f(a)]=（b平方-a平方）f'(x)
少加了个字，不过应该都知道的
再加个求极限的吧，嘿嘿，分数会加：
x->0时，[x-ln(1+tanx)]/x平方，答案是1/2，我用罗比达法则怎求都是0呢
天下无齐，极限的这个不对吧，cos^2x(1+tanx)=1？那分子第一次求导不是直接等于0了啊
第一题：令g(x)=x^2(x的平方）
f(b)-f(a)/b^2-a^2=f'(x)/g'(x) (a<x<b) (柯西中值定理）
即：f(b)-f(a)/(b^2-a^2)=f'(x)/2x
整理得2x[f(b)-f(a)]=(b^2-a^2)f'(x)
第二题：令F(x)=f(x)g(x)-f(a)g(x)-f(x)g(b)
F(a)=-f(a)g(b) F(b)=-f(a)g(b)
因为F(a)=F(b) 根据罗尔定理，在（a,b)内至少存在一点c,
使F'(c)=f'(c)g(c)+f(c)g'(c)-f(a)g'(c)-f'(c)g(b)=0
整理得f'(c)/g'(c)=[f(c)-f(a)]/[g(b)-g(c)]
补充题：lim(x-ln(1+tanx))/x^2=lim(1-(1/cos^2x*(1+tanx))/2x
=lim(cos^2x(1+tanx)-1)/2x (因为cos^2x(1+tanx)=1,所以分母中省略）
=lim(cos^2x+1/2sin2x-1)/2x 进一步整理
=lim(2cosx(-sinx)+cos2x)/2 罗比达法则
=lim(0+1)/2=1/2
1.
要证2x[f(b)-f(a)]=（b平方-a平方）f'(x)
只要证[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)=f'(x)/[2x]
应用柯西中值定理
[f(b)-f(a)]/(b^2-a^2)
=f'(x)*(b-a)/[2x*(b-a)]
=f'(x)/2x
2.
没做出来……
饿，不会