若f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数都成立,且f(x)不恒等于零,判断函数的奇偶性

因为：f(x+y)=f(x)+f(y)对于任意实数都成立，
令 x=y=0
有 f(0)=f(0)+f(0)
得 f(0)=0
又：令x=-y
得 f(x-x)=f(x)+f(-x)
f（0）=f(x)+f(-x)=0
f(-x)= -f(x)
所以，函数是奇函数

可以看出一个符合条件的函数（但不一定是唯一的）f(x)=x.它是奇函数。