已知a，b，x，y是正实数，且a＋b＝1求证（ax＋by）（ay＋bx）＞＝xy

证明:(ax+by)(ay+bx)-xy
=xya^2+abx^2+aby^2+xyb^2-xy
=xy(a^2+2ab+b^2)-2abxy+abx^2+aby^2-xy
=xy(a+b)^2+ab(x^2-2xy+y^2)-xy 因为a+b=1
=xy+ab(x-y)^2-xy
=ab(x-y)^2 又因为:abxy都是正实数
则ab(x-y)^2>=0
即(ax+by)(ay+bx)-xy>=0
也就是(ax+by)(ay+bx)>=xy

(ax+by)(ay+bx)-xy=abx^2+(a^2+b^2-1)xy+aby^2
因为 a+b=1 所以 (a+b)^2=1,
推出 a^2+b^2=1-2ab
原式=abx^2-2abxy+aby^2
=ab(x-y)^2
因为a,b是正实数,
所以ab(x-y)^2>=0
得出(ax+by)(ay+bx)>=xy

x^2是x的平方