高一数学问题二

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/04/27 04:58:14
已知△ABC三边成等差数列，最大角与最小角相差90°，求证：a:b:c=( +1)： ：（ -1）（A为最大角，C为最小角）。
a:b:c=(√7+1)：√7：（√7-1）

以下角C简记为C
由已知，三个角分别为C,π/2-2C,π/2+C,(单位为弧度制)，于是0<C<π/4
由正弦定理：a/sin(π/2+C)=b/sin(π/2-2C)=c/sinC即a/cosC=b/cos2C=c/sinC
于是(a+c)/(cosC+sinC)=b/cos2C (1)
由a、b、c成等差数列，即2b=a+c
(1)式简化为2cos2C=sinC+cosC (2)
两边平方，4(cos2C)^2=1+2sinCcosC,0=4(sin2C)^2+sin2C-3
于是sin2C=3/4或-1(舍)
于是cos2C=(√7)/4或(-√7)/4 (舍，因为0<C<π/4)
于是2(cosC)^2-1=cos2C=(√7)/4
得(cosC)^2=(√7)/8+1/2=[(√7+1)/4]^2
于是cosC=(√7+1)/4，于是由(2)式sinC=(√7-1)/4
于是由正弦定理a:b:c=sin(π/2+C):sin(π/2-2C):sinC:cosC:cos2C=sinC=(√7+1)：√7：（√7-1）

[注]a^b表示a的b次方