△ABC中,∠ACB=90度,⊙O切BC于点D,切AB、AC的延长线于E、F,若BC=6,AC=8,求⊙O的半径

1.设⊙O的半径=R=OE=OD=OF, 连接AO，则∠OAF=∠A/2
∵四边形CDOF是正方形， ∴FC=OF=R
∵cosA=AC/AB=4/5， ∴tan<OAF>=√[(1-cosA)/(1+cosA)]=√(1/9)=1/3
∴R=OF=AF*tan<OAF>=(8+R)*(1/3)===>3R=8+R===>R=4

2.由切割线定理:BC²=CD*CF===>CF=6²/2=18
∴DE=18-2-6=10, CE=10+2=12=2*BC,
又∠B=90º===>∠CEB=30º===>EB=EC*cos30º=12*(√3/2)=6√3
由相交弦定理:AE*EB=FE*EC===>AE=(6*10)/(6√3)=10√3/3
∴⊙O的半径=(AE+EB)/2=(10√3/3+6√3)/2=14√3/3

（1）设半径为x，
则OE=OD=OF=CD=CE=x，
因为BC=6，所以BD=6-x,
根据切线长定理，
所以BF=BD=6-x，
利用勾股定理可以得AB=10,
还可以证出AE=AF,
而AE=8+x,AF=10+(6-x),
所以8+x=16-x,解得x=4.
（2)

1、连接OF OD OE 则 CFOD为正方形 且变长为○O半径
AF=AE => AC+CF=AB+BE => 8+R=√(8^2 +6^2)+BE
BE=BD=BC-CD=6-R
有上面两式子得R=4
2、BC^2 = CD*CF
即6^2 = 2*（2+R+6)
得 R=10

∵BC=6,AC=8,得AB=10
S△ABC=24
又S△ABC=S△ABO+S△AOC+S△OBC=1/2(AC+AB+BC)R
得R=2
2