问一道高中数学证明题

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/02 07:52:16
已知0<x<90°，则必有sinx<x<tanx
书上写了这个结论，但不什么为什么会有这个结论．如果知道的讲一下

可以考虑单位圆的正旋线和正切线,这个很直观的
也可以从函数考虑f(x)=x-sinx,导数f'(x)=1-cosx>0,所以f(x)>f(0)=0故x>sinx
g(x)=x-tanx,g'(x)=1-1/(1+x^2)=x^2/(1+x^2)>0,所以g(x)>g(0)=0故x>tanx
因此sinx<x<tanx

可以考虑在单位圆中sinx、x、tanx对应的线段，再考虑三个线段对应的三个区域的面积就可以证明了。 如图：http://hiphotos.baidu.com/chy9y9/pic/item/25e42dd872bea13e32fa1c1e.jpg
单位圆o中，sinx、x、tanx对应的线段分别是EC、弧AC、AB。 三角形OAC的面积等于EC*AO/2 ，扇形OAC的面积等于弧AC*AO/2，三角形OAB的面积等于AB*AO/2。 而显然三个面积的大小依次是SOACEC所以，sinx<x<tanx 。