设函数F(x)的定义域为R,且为任意x,yf(x+y)=f(x)+f(y),而且,当x>0时,f(x)<0

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/26 13:24:46
设函数F(x)的定义域为R,且为任意x,y属于R，都有f(x+y)=f(x)+f(y),而且,当x>0时,f(x)<0，f（1）＝－1
（1）讨论f（x）的奇偶性和单调性
（2）求f（x）在〔－5，5〕上的最大值和最小值
（3）求集合M＝｛x｜f（x＾2）＋f（3x）＋f（－1）＞－3，x属于R｝

(1)
f(x)=f(0)+f(x)
f(0)=0
f(-x)=f(0)-f(x)=-f(x) => 为奇函数
对于x1<x2, f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
x2-x1>0 f(x2-x1)<0 故 f(x2)<f(x1)故为减函数
(2)
f(x)为减函数，故f(-5)为最大值，f(5)为最小值
f(5)=f(1)+f(4)=2*f(1)+f(3)=...=5*f(1)=5*1=-5
∵f(x)为奇函数
f(5)=-f(-5)=5
(3)
M={x|-x^2-3x+1>-3}
={x|x^2+3x-4<0}
={x|(x+4)(x-1)<0}
=(-4,1)