高二导数题目

1.
f(x)=x(x+1)(x+2)...(x+1000)
是1001次多项式
可知f'(x)是1000次多项式
f'(0)就是f'(x)的常数项

f(x)一次项x的系数为
1*2*3*...*1000=1000!
[从1001个因式中选取一个x和1000个常数
由于x=x+0
所以只能选取x+0中的x及其他1000个因式中的常数项]

所以f'(x)的常数项为1000!
f'(0)=1000!

2.
y=x^x
两边取对数
lny=xlnx
对两边求导
y'/y=lnx+x*(1/x)
y'=y(lnx+1)
y'=x^x(lnx+1)

1 找规律，x(x+1)导数2x+1，0处为1，x(x+1)(x+2)＝x^3+3x^2+2x 导数为3x^2+6x+2，0处为2，再下一项求导，0处为6，发现规律：1！，2！，3！，所以1000时是1000！

2 f(x)＝x^x，这种形式的函数先后将两个x看为常数求导，之后将结果相加
为（a^x+x^a）’（最后用x代换掉a）＝a^xlna+ax^(a-1)＝x^xlnx+x^x

1、设f(x)=xg(x),则f'(x)=g(x)+xg'(x)
f'(0)=g(0)=1000!

2、y=x^x=e^(xlnx)
y'=(xlnx)'*e^(xlnx)=(lnx+1)e^(xlnx)=x^x(1+lnx)