已知a,b,c为实数 且绝对值a<1 绝对值b<1 绝对值c<1 求证abc+2>a+b+c

因为(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)
又因为绝对值a<1 绝对值b<1 绝对值c<1，所以有a^2<1,b^2<1,c^2<1,
ab绝对值<1,因此ab必然小于1，同理bc、ac也小于1，因此ab+bc+ac<3,且有abc绝对值<1,也可得abc<1,
综上，（a+b+c)^2<1+1+1+2(1+1+1)=9
(abc+2)^2=abc^2+4abc+4
上式相减的差大于0，不等式两边开根号，得证！

|a|<1, |b|<1, |c|<1
设：f(a)=abc+2-(a+b+c)=(bc-1)a+(2-b-c)
是关于a的一次函数
因为 f(-1)=1-bc+2-b-c=3-(bc+b+c)
＝4-（1+b)(1+c)
因 -1<b<1, 0<1+b<2,同理 0<1+c<2
(1+b)(1+c)<4
f(-1)>0
f(1)=bc-1+(2-b-c)=bc-b-c+1=(1-b)(1-c)>0
故f(a)在(-1,1)上永远大于0
即 f(a)>0
abc+2>a+b+c