已知向量a=(1+cosα,sinα),b=(1-cosβ,sinβ),c=(1,0),其中α∈（0，π），β∈（π，2π）

因为a∈（0，π），β∈(π，2π）
所以sina>0,sinβ<0,又1+cosα>0,1-cosβ>0,所以向量A在第一象限,向量B在第四象限
所以tanθ1=sinα/(1+cosα)
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{1+[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}
=2sin(α/2)cos(α/2)÷{2[cos(α/2)]^2}
=sin(α/2)/cos(α/2)
=tan(α/2)

tan(θ2)=-sinβ/(1-cosβ)
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{1-[cos(β/2)]^2+[sin(β/2)]^2}
=-2sin(β/2)cos(β/2)÷{2[sin(β/2)]^2}
=-cos(β/2)/sin(β/2)
=-cot(β/2)

又θ1-θ2=π/6,所以有tan(θ1-θ2)=tanπ/6=(√3)/3
而tan(θ1-θ2)=(tanθ1-tanθ2)/(1+tanθ1tanθ2)
={tan(α/2)-[-cot(β/2)]}/[1-tan(α/2)cot(β/2)]
=[sin(α/2)sin(β/2)+cos(β/2)cos(α/2)]/[sin(β/2)cos(α/2)-sin(α/2)cos(β/2)]
=cos[(α-β)/2]/sin[(β-α)/2]
=-cot[(α-β)/2]

所以cot[(α-β)/2]=-(√3)/3
cos[(α-β)/2]=-(√3)/3sin[(α-β)/2]
代入{cos[(α-β)/2]}^2+{sin[(α-β)/2]}^2=1
得:(4/3){sin[(α-β)/2]}^2=1
再由a∈（0，π），β∈(π，2π）得(α-β)/2∈(-π,0),所以sin[(α-β)/2]<0
于是sin[(α-β)/2]=-(√3)/2

首先分析a，b向量的结构，
把b写成
1+cos（π-