数学问题 如图，在△ABC中，已知∠BAC为90°，AB=AC。M为△ABC内一点，且BA=BM,AM=CM

∠ABM=30°
过M作AB的垂线MD，过M作AC的垂线ME

1) AM=CM，ME⊥AC => AE=EC，即AE=(1/2)AC=(1/2)AB
2) 显然四边形ADME是矩形，于是MD=AE=(1/2)AB
3) 又BM=BA，故MD=(1/2)BM。直角△BMD中，对边等于斜边的一半，所以∠ABM=30°

过程挺复杂，需要用到余弦定理，推导过程如下：
首先设PA＝a，PB＝b,PC=c,
则BC＝b＋c。
因为是等腰直角三角形，可设AB＝AC＝R，则
BC＝根号2R
所以b+c=根号2R。 （1式）
因为，根据已知条件定理，角BPA＋角APC＝180°
所以，根据三角函数定理，CosBPA＝－CosAPC，
所以，根据余弦定理，以及所设的AB、AC、BC等边，可得如下式子：
（a方＋c方－R方）/2ac＝－（a方＋b方－R方）/2ab，
由此化简后，可得
a方＝R方－bc （2式）
根据1式，R＝（b＋c）/根号2 （3式）
将3式代入2式，得
a方＝〔（b+c）/根号2〕方－bc
a方＝1/2*(b+c）方-bc
再化简，得
a方＝1/2(b方＋c方）＋bc－bc
a方＝1/2(b方＋c方）
即
PA方＝1/2(BP方＋PC方） 得证。

解：
作MD⊥AC 于点D，ME⊥AB于点E
则四边形AEMD是矩形
∴ME=AD
∵MA=MC
∴AD=CD
∴AD=1/2AC
∴ME =1/2AC
∵AC =AB =BM
∴ME =1/2BM
∴∠ABM =30°