如图, 已知 AD‖BC,∠1=∠2,∠3=∠4, 直线 DC过点E交 AD 于 D, 交BC于点C,求证:AD+BC=AB
来源:百度知道 编辑:UC知道 时间:2024/09/25 14:05:07
正如你做的辅助线一样,要求EC=EF.显然了,三角形ECB=三角形EFB,则有BF=BC,现在只要证明三角形ADE=三角形AFE即可,你肯定可以推导出∠2+∠3=90,则可以得到∠AEB=90,∴∠DEA+∠BEC=90,∵∠AEF+∠FEB=90,∠BEC=∠FEB
,∴∠DEA=∠AEF,所以三角形ADE=三角形AFE,所以AD=AF.而BF=BC,的证
证明:
∵AD‖BC,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180.
又∵∠1=∠2,∠3=∠4
所以∠2+∠3=90°
后边咋整呢?不要告诉我,作三条垂线(角平分线到角两边的垂线),再证明全等。
(我说楼上的大哥,你不懂就不要瞎说,你的“显然了,三角形ECB=三角形EFB”,笑话哦,△EFB是直角三角形,△ECB是吗???还全等……)
AB上取一点F,使AD=AF,三角形ADE全等于三角形AFE,有∠DEA=FEA,AD‖BC得,∠1+∠2+∠3+∠4=180,得∠1+∠3=90,所以∠DEA+∠CEB=90,又
∠AEF+∠BEF=90,∠AEF=∠DEA,所以∠BEF=∠BEC,又∠3=∠4,三角形BEF全等于三角形BEC,有BC=BF,由AD=AF,所以AD+BC=AF+BF=AB,得证
过E点做EF‖BC交AB于F
于是∠AEF=∠1=∠2
∴AF=EF
同理:BF=EF
于是EF是梯形ABCD的中位线
∴2EF=AD+BC
而EF=AF=BF
∴AB=AF+BF=2EF=AD+BC.
证明:过E点分别向AD、AB、BC作垂线,分别交于G、F、H,
∵∠1=∠2,∠3=∠4,即直线AE和BE分别是∠DAB和∠ABC的角平分线,根据“平分线上的点到角的两边距离相等”得:EF=EG,EF=EH,所以EG=EH。
又因为AD‖BC,且EG⊥AD,EH⊥BC,易知EGH三点共线。
所以E为线段GH的中点,易证Rt△DGE≌Rt△CHE,则有DG=CH
同样易证Rt△AGE≌Rt△AFE,则有AG=AF。
Rt△BFE≌Rt△BHE,则BH=B