高一 数学 数学 函数 请详细解答,谢谢! (11 12:49:32)

 

已知奇函数f(x)的定义域为（负无穷大，0）∪（0，正无穷大），且f(x)在（0，正无穷大）上是增函数，f(1)=0。
(1)求证：函数f(x)在（负无穷大，0）上是增函数。
(2)解关于x的不等式f(x)<0

证明:设x1<x2<0,则-x1>-x2>0
由于f(x)在（0，正无穷大）上是增函数
所以,f(-x1)>f(-x2)
又函数是奇函数,则f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2)
即可得:f(x1)<f(x2)
所以,函数f(x)在（负无穷大，0）上是增函数。

(2)f(-1)=-f(1)=0
x>0时,f(x)<0=f(1)
由增函数得:0<x<1.
当x<0时,f(x)<0=f(-1)
由增函数得:x<-1
综上所述:x<-1或0<x<1

(1)证明：设x1<x2<0,则-x1>-x2>0,又f(x)在（0，+∞）上是增函数，
所以f(-x1)>f(-x2),
由f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x),
所以-f(x1)>-f(x2),即f(x1)<f(x2),
所以函数f(x)在（-∞，0）上是增函数.
(2)解：当x>0时，
由于f(x)在（0，+∞）上是增函数，且f(1)=0，
所以x<1时，f(x)<0,x>1时，f(x)>0,
由于f(x)是奇函数，则f(x)=-f(-x),
显然，x>0且f(x)>0时有-x<0且f(-x)<0，
又由(1)得f(x)在（-∞，0）上是增函数,
所以x<-1,
综上，f(x)<0的解集为（0，1）∪（-∞，-1）.
上面第2问也可由f(x)是奇函数得出f(-1)=0,再由(1)中得出的在（-∞，0）上是增函数求得x<-1.
这种题目好好运用题目给出的已知条件，结合要求的结果一步步去解决.

奇函数的性质 对称区间的函数单调性相同