已知a,b,c属于正实数，a+b+c=1,试求证a2+b2+c2的最小值

（a+b+c）^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc =1
又因为（2）a^2+b^2>=2ab
（3） a^2+c^2>=2ac
（4）b^2+c^2>=2bc
把上面4个式子的左边加起来大于等于4个式子右边加起来

3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc≥1+2ab+2ac+2bc

就是3a^2+3b^2+3c^2+2ab+2ac+2bc >=1+2ab+2ac+2bc

所以a^2+b^2+c^2>=1/3

1/3。
有一个定理：√(a^2+b^2+c^2)/3≥(a+b+c)/3。前面那个“√”是根号下的意思。
左边那项叫做“平方平均值”，右边那项叫做“算术平均值”。一般恒有：有限个实数的平方平均值≥它们的算术平均值，当且仅当它们全相等时取等号。若想证明，可以先证两个数的情况。即√(a^2+b^2)/2≥(a+b)/2。
当且仅当a=b=c时√(a^2+b^2+c^2)/3取得最小值。最小值为(a+b+c)/3=1/3。那么a^2+b^2+c^2的最小值为1/3。