证明：若f(x)在R上满足f(x+y)=f(x)*(y)且f(x)在x=x0处连续，则f(x)在R上连续。

f(x+y)=f(x)f(y)
令x=y=0得f(0)=f(0)*f(0),f(0)=0或1
若f(0)=0，则f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)=0，显然f(x)=0在R上连续
若f(0)=1，则y趋向0时，limf(x0+y)=lim[f(x0)f(y)]=f(x0)lim(y)=f(x0)
所以lim(y)=1,
所以y趋向0时limf(x+y)=lim[f(x)f(y)]=f(x)limf(y)=f(x),即f(x)在R上连续。

是f(x+y)=f(x)f(y)吧？

对f(x0)讨论

若f(x0)=0 显然 f(x)=0 此时f(x) 显然在R上连续

若 f(x0) 不为 0 显然 f(x) 也不为0

一元函数连续=可导

故 lim x-->0 [f(x+x0)-f(x0)]/x =f(x0)(f(x)-1)/x = f'(x0)

故 lim x--->0 (f(x)-1)/x =f'(x0)/f(x0)

对于 任意的 x 属于 R

有 lim t-->0 f (x+t)-f(x) / t = f(x) lim t-->0 (f(t)-1 )/ t =f(x)f'(x0)/f(x0) 显然 极限值只与f(x)有关

从而 f(x) 在R 上可导

所以f(x)在R上连续