求证∠ABD=∠DAC

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/01 22:14:41
知 平行四边形ABCD中，AC=根号2AB
求证∠ABD=∠DAC
在线等一个小时之内 图最好画出来
AB/AO=AC/AD=根号2（AO=AC=二分之根号二乘以AB
为什么

楼上思路是对的，可能没图的缘故，写错点了。
应该是AB/AO=AC/CD=根号2
这题主要是利用√2的一个特殊性质√2:1=2:√2

设AB=√2，对角线交点为O，则AC=√2×√2=2，AO=AC/2=1，CD=AB=√2
于是AB:AO=√2:1=2:√2=AC:CD，又∠BAO=∠ACD（内错角相等），
所以△AOB∽△CDA，故∠ABD=∠DAC

这条性质曾用于解决一个著名的奥数难题：
等腰△ABC的底边BC=1，D是腰AC上点，且AD=1，BD=√2，求顶角A。
结果是A=π/7。
标准答案用的是解三角形法，并用到3倍角的公式。可以想见用纯几何方法的难度。

用相似三角形证，设焦点为O
角BAO=角ACD（内错角相等）
AB/AO=AC/AD=根号2（AO=AC=二分之根号二乘以AB）
所以三角形AOB相似于三角形CDA
所以∠ABD=∠DAC