急！！！高中数学证明题。 数列n的n次方根，当n大于等于3时，n+1的n+1次方根>n的n次方根

令f(x)=(lnx)/x
则f'(x)=[(1/x)*x-(lnx)/1]/x^2=(1-lnx)/x^2
x>=3>e,则lnx<lne=1
所以1-lnx<0
x^2>0
所以n>=3则f'(x)<0
f(x)是减函数
所以x>=3时
lnx/x<ln(x+1)/(x+1)
x>0,x+1>0
所以(x+1)lnx<xln(x+1)
即(n+1)lnn<nln(n+1)
所以lnn^(n+1)<ln(n+1)^n
ln是增函数
所以(n+1)^n>n^(n+1)
所以[(n+1)^n]^[1/n(n+1)]>[n^(n+1)]^[1/n(n+1)]
即n>=3时
(n+1)^[1/(n+1)]>n^[1/n]

对n的n次方根求导，证明当n>3时导数小于零即可

证明：设f(x)=x^(1/x)
则f'(x)=x^(1/x)[(1-lnx)/x^2]
可知当x>3时，lnx>1,此时f'(x)=x^(1/x)[(1-lnx)/x^2]<0，即f(x)为减函数
因此当n>3时有
(n+1)^[1/(n+1)]<n^(1/n)

我以前知道现在都忘了