UC知道几道高中数学证明题
来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/05/23 23:31:47
1. sin(α+β)sin(α-β)=sin^α-sin^β
cos(α+β)cos(α-β)=cos^α-sin^β
2.α+β+γ=kπ(k属于正整数)等价于
tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ
3.cos3θ=4cos(60-θ)cosθcos(60+θ)
sin3θ=4sin(60-θ)sinθsin(60+θ)
tan3θ=tan(60-θ)tanθtan(60+θ)
(1)sin(a+b)sin(a-b)=(sina*cosb+sinb*cosa)(sina*cosb-sinb*cosa)=(sina*cosb)^2-(sinb*cosa)^2=(sina)^2*(1-(sinb)^2)-(sinb)^2*(1-(sina)^2)=(sina)^2-(sinb)^2
cos(a+b)cos(a-b)=(cosa*cosb-sina*sinb)(coa*cosb+sina*sinb)=(cosa*cosb)^2-(sina*sinb)^2=(cosa*cosb)^2-(1-(cosa)^2)*(1-(cosb)^2)=(cosa)^2-(cosb)^2
(2)c=k*pi-a-b,tan(c)=tan(k*pi-a-b)=tan(a+b),故要证明tana+tanb+tanc=tana*tanb*tanc只需证明tana+tanb+tan(a+b)=tana*tanb*tan(a+b),由于tana+tanb=tan(a+b)*(1-tana*tanb),代入即可得tana+tanb+tanc=tana*tanb*tanc
(3)由（1）可得sin(60-a)*sin(60+a)=(sin60)^2-(sina)^2=3/4-(sina)^2,故4sin(60-a)*sina*sin(60+a)=3sina-4*(sina)^3,而sin3a=sin(2a+a)=sin2a*cos+cos2a*sina=2sina*(cosa)^2+sina*(1-2(sina)^2)=2sina*(1-(sina)^2)+sina*(1-2(sina)^2)=3sina-4*(sina)^3,从而证明：sin3a=4sin(60-a)*sina*sin(60+a)
cos的证法相类似，tan的直接用sin/cos即可。
注：为了打字方便，把字母换成a，b，c了，pi表示圆周率。
做三角函数的证明题的基本原则为：1.尽量减少变量，如第二题；2.将多被角尽量降低为单倍角，如第一题和第三题；3.灵活采用多种方法，特别是分析法，即从结论往前推，得到一个明显成立的式子。