△ABC中,AD是它的角平分线。求证S△ABC∶S△ACD=AB∶AC

做辅助线DE垂直AB于E，DF垂直AC与F
S△ABD：S△ACD=ED*AB：DF*AC
因为AD为角平分线所以角EAD=角DAF，AD=AD
三角形AED与AFD全等
所以ED=FD
所以S△ABD：S△ACD=AB:AC

其实这是一个定理，有一个角同角度三角形面积比等于此角两边乘积的比。

此题里，分别以b,c为顶点作ad为边做高。

可知做出的两个直角三角形为相似三角形（三角相等）。

推出高的比=ab:ac

而两个三角形面积公式是ad*高

所以求证S△ABC∶S△ACD=AB∶AC

原题

三角形ABC中AD是它的角平分线求证S△abd：S△acd=AB:ac

作辅助线de垂直ab与e，df垂直ac与f
S△abd：S△acd=ed*ab：df*ac
因为ad为角平分线所以角ead=角daf，ad=ad
三角形aed与afd全等
所以ed=fd
所以S△abd：S△acd=AB:ac

很简单，角平分线的性质你知道吧！就是到两边的高相等，三角形的面积是高乘底再除以二吗，现在高相等了，那面积的比值不就是底的比AB＼AC呀吗…