高一 数学 求坐标 请详细解答,谢谢! (30 18:42:35)

来源：百度知道 编辑：UC知道 时间：2024/06/19 00:15:20
设A（a，b）是第一象限内的一定点，过A作直线L分别交x轴，y轴正半轴M、N，求使△MON(O为原点）的面积取最小值时，M、N的坐标。

设M(m,0),N(0,n),m>0,n>0
则直线是x/m+y/n=1
所以a/m+b/n=1
n=bm/(m-a)
所以面积mn/2=bm²/2(m-a)

即求bm²/(m-a)最小时的m
要求n=bm/(m-a)>0
因为abmn都大于0，所以必有m-a>0

bm²/(m-a)=(bm²-ba²+ba²)/(m-a)
=[b(m+a)(m-a)+ba²]/(m-a)
=b(m+a)(m-a)/(m-a)+ba²/(m-a)
=b(m+a)+ba²/(m-a)
=b(m-a)+ba²/(m-a)+2ab

因为m-a>0
所以b(m-a)+ba²/(m-a)>=2√[b(m-a)*ba²/(m-a)]=2ab
当b(m-a)=ba²/(m-a)时取等号
(m-a)²=a²
m-a=a
m=2a
即m=2a时面积最小
n=bm/(m-a)=2b

所以M(2a,0),N(0,2b)