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令f(x)=ax^2+b-(ax+b)^2
(1)如果a+b≤1
f(x)=ax^2+b-(ax+b)^2=(a-a^2)x^2-2abx+(b-b^2)
有:
判别式=(2ab)^2-4ab(1-a)(1-b)=4ab[ab-(1-a)(1-b)]
=4ab(a+b-1)≤0
所以可以知道:对于这个开口向上的函数来说,它与坐标轴没有交点或者只有一个交点
所以就有f(x)恒大于或等于0
就得到:ax^2+b≥(ax+b)^2
(2)如果ax^2+b≥(ax+b)^2
就是函数f(x)恒大于0,所以可知:a-a^2>0;b-b^2>0
就是:0<a<1.0<b<1
对于判别式应为恒小于或者等于0
判别式=(2ab)^2-4ab(1-a)(1-b)=4ab[ab-(1-a)(1-b)]
=4ab(a+b-1)≤0
所以就有a+b-1≤0,即:a+b≤1

f(x)=ax^2+b-(ax+b)^2
=ax^2+b-(ax)^2-2abx-b^2
=(a-a^2)x^2-2abx+(b-b^2)
a-a^2=a(1-a)>=ab
b-b^2=b(1-b)>=ab
所以f(x)>=abx^2-2abx+ab=ab(x-1)^2>=0
所以ax^2+b>=(ax+b)^2

第二问中
令x=1
即可得证